Tamanho de amostra para RR

28 de dezembro de 2022 by

A coleta de dados durante o ciclo MAI do Lean Six Sigma Estilo Startup é usualmente a mais complicada e demorada pela baixa qualidade dos sistemas de medição da maioria das empresas. Neste artigo mostramos como calcular o tamanho das amostras para um estudo de repetibilidade e reprodutibilidade quando os dados são contínuos.

Mensurando a variação da análise

A variação de uma análise tem duas grandes fontes envolvidas:

⦁ Variação entre as medições realizadas num mesmo material feitas pelo mesmo analista, usando o mesmo equipamento em um curto espaço de tempo.
⦁ Variação das medições realizadas num mesmo material feita por analistas diferentes e/ou usando equipamentos diferentes em diferentes dias.

À primeira fonte de variação, ou seja, aquela variação dos resultados da análise quando um mesmo analista repete a análise sob as mesmas condições, damos o nome de repetibilidade e é caracterizada pelo desvio padrão da repetibilidade (Srepe). À segunda fonte de variação, ou seja, aquela variação dos resultados da análise quando analistas diferentes fazem a análise ou o mesmo analista faz a análise em equipamentos diferentes, e/ou em diferentes dias, damos o nome de reprodutibilidade e é caracterizada pelo desvio padrão da reprodutibilidade (Srepro).

O desvio padrão do sistema de medição é igual a:

Para medirmos a variabilidade da medição (ou precisão da medição), temos que estimar os desvios padrão da repetibilidade e da reprodutibilidade.

Para mensurar a variação da análise basta pegarmos algumas amostras, repetir a análise diversas vezes e calcularmos o desvio padrão, certo? Para isto deve-se ter em conta que a “confiança” no desvio padrão depende da quantidade de analistas que participam das medições e do número de repetições realizadas em cada amostra. Vemos a seguir o procedimento para desenhar um plano de amostragem para medir a precisão da análise.

Selecionando o plano

Há dois tipos básicos de planos: Cruzados e Hierárquicos. A utilização de um ou de outro depende das características das amostras, mas sempre que possível sugerimos utilizar o plano cruzado.

No plano cruzado todos os analistas fazem as análises nas mesmas amostras. Este tipo de plano é comum quando a mesma amostra pode ser analisada mais de uma vez, como, por exemplo, quando diversos analistas medem o comprimento dos mesmos parafusos. O nome “cruzado” deriva do fato de que todas as amostras são “cruzadas” entre todos os analistas (Figura 2).

O plano hierárquico é utilizado quando os analistas não conseguem fazer a análise nas mesmas amostras. Um exemplo deste plano é numa análise química, onde a amostra degrada com o tempo e os analistas trabalham em turnos diferentes. Com isto o primeiro analista consegue repetir a análise algumas vezes na mesma amostra, mas quando o outro analista vai medi-la horas depois, os resultados são completamente diferentes. Neste caso selecionamos amostras diferentes para cada analista. O nome “hierárquico” é porque certas amostras estão alocadas a um analista e outras amostras a outro analista.

A seguir algumas dicas para a condução dos planos de medição:

⦁ Quando estamos fazendo um levantamento inicial ou melhorando o procedimento de análise, não precisamos fazer a análise com todos os analistas. Podemos fazer a análise com alguns e ir melhorando a procedimento de análise até chegarmos num ponto considerado ideal e aí então fazer um plano mais completo. Mas atenção, cuidado para não selecionar somente os melhores analistas, nem somente os piores, pois senão teremos uma visão deturpada da realidade.

⦁ Enquanto estivermos melhorando a análise, não precisamos também trabalhar com muitas amostras diferentes. Podemos trabalhar com amostras na faixa mais crítica, pois se o método ficar bom para esta faixa, será também adequado nas faixas menos críticas.

⦁ Não é necessário realizar o estudo com mais de uma amostra, mas quando trabalhamos somente com uma única amostra precisamos ter em mente que os resultados são válidos para aquele tipo de amostra. Não podemos simplesmente inferir que o resultado vale para outros tipos de amostra.

Uma vez escolhido o plano do estudo, precisamos definir o número de repetições necessárias para calcular o desvio padrão com um nível de confiança adequado.

Determinando o tamanho de amostra para calcular o desvio padrão da medição

Suponha que um Belt deseje calcular o desvio padrão da medição medindo 3 vezes a mesma amostra.

Você acha isto suficiente? 🤔

Para responder, fizemos uma simulação supondo que o desvio padrão da análise é igual a 1,2 e repetimos 900 vezes a análise de resistência. Separamos os valores em grupos de 3 medidas e calculamos os desvios padrão para cada grupo (300 valores de desvios padrão). Repetimos o mesmo procedimento para grupos de 10 e de 20 medidas. Note na Figura 3 como o desvio padrão pode ser bem diferente quando utilizamos amostras pequenas, indo desde o valor 0,1 até 3,5 na simulação com três valores. Fica claro também que quanto maior o tamanho da amostra, mais precisa é a medição do desvio padrão (com 20 repetições obtivemos desvios padrão entre 0,8 e 1,6).

Como se conclui da Figura 3, a variação na mensuração do desvio padrão pode ser controlada pela escolha do número de repetições que fazemos. Mas quanto é um nível aceitável de variação? No geral, é de consenso que uma variação em relação ao valor nominal entre 10% e 15% é adequada para estimar o desvio padrão.

Existe uma fórmula para medir esta “variação em relação ao valor nominal”: o coeficiente de variação (CV). Para o desvio padrão da repetibilidade, esta medida pode ser calculada por:

onde v (letra grega “ni”) representa o número de graus de liberdade (gl) utilizados no cálculo do desvio padrão. Exemplo: no caso da empresa que fazia a medição do desvio padrão com 3 amostras, o número de graus de liberdade será igual a 2 (no caso de 1 amostra o gl é igual ao número de repetições menos 1). O CV será de 50%, valor bem acima do limite de 15% recomendado:

Notamos que quanto mais repetições realizarmos na mesma amostra, menor será o CV do desvio padrão. Quanto mais informações temos (mais repetições) maior a certeza do que estamos medindo (menor é o CV).

O número de graus de liberdade depende do plano utilizado. Imagine as seguintes situações (Figura 4):

⦁ Situação 1: um GB está fazendo o estudo para uma medida de viscosidade com 2 analistas. Ele preparou 3 amostras com viscosidades diferentes e cada analista repetiu 4 vezes a análise em cada amostra.
⦁ Situação 2: um outro GB está fazendo o estudo para uma medida de resistência e ele dispõe de 4 analistas. Neste caso ele preparou 2 amostras com resistências diferentes e as deu para cada analista repetirem 3 vezes a análise em cada amostra.

Nas duas situações temos um plano cruzado, onde a mesma amostra é analisada por todos os analistas.

Para as duas situações o número total de análises feitas é o mesmo, ou seja, 24 análises (Tabela 1). Mas apesar disto, o número de repetições feita na mesma amostra pelo mesmo analista é diferente.

O cálculo dos graus de liberdade do desvio padrão da repetibilidade pode ser determinado multiplicando o número de analistas pelo número de amostras e depois pelo número de repetições menos 1:

Na Situação 1 temos 18 gl e na Situação 2 temos 16 gl, valores que mostram um CV% ainda acima dos 15% (Tabela 2).

Na Figura 5 há gráficos representando a variação do CV% do desvio padrão da repetibilidade em função de “a”, “p” e “n”. Destaca-se também a faixa com valores adequados de CV% (retângulo azul). Na Situação 1 (3 amostras e 2 analistas) precisaríamos de no mínimo 5 repetições para que o CV estivesse abaixo de 15% e no mínimo 10 repetições para que ele estivesse abaixo de 10% (veja gráfico inferior esquerdo da Figura 5). Para a Situação 2 (2 amostras e 4 analistas) precisaríamos de no mínimo 4 repetições para que o CV estivesse abaixo de 15% e no mínimo 8 repetições para que ele estivesse abaixo de 10% (gráfico superior direito da Figura 5).

Conclusões

Vimos que o desvio padrão da medição tem que ser baixo para aumentar a confiança nos dados e para não classificarmos erroneamente a nossa produção. Além disso, a precisão adequada da medição é um ingrediente essencial para realizar experimentos no processo ou para extrair conclusões dos dados históricos.

Mostramos como escolher o plano, cruzado ou hierárquico e como definir o número de repetições necessárias para que a mensuração do desvio padrão da repetibilidade seja confiável.

⦁ Referência bibliográfica

Mandel, J. (1972). Repeatability and Reproducibility, Journal of Quality Technology, 4, 74-85.

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